摘要: 高速铣削加工过程的颤振不稳定性是制约刀具寿命和加工效率的主要因素。传统的颤振稳定性预测模型都假设系统参数是恒定的，但是在实际的高速铣削过程中，影响加工稳定性的参数会随着高主轴转速、高系统动态特性而发生变化。为提高铣削加工精度，以高速铣削加工稳定性为研究对象，考虑参数不确定性的影响，应用棱边定理和排零准则，建立高速铣削变参数稳定性预测数学模型。在此基础上，通过模态测试和辨识铣削力系数获得固有频率及切削系数的变动范围，然后采用数值分析和铣削实验相结合的方式，验证了建立的高速铣削变参数稳定性模型的正确性。
关键词: 高速铣削; 动态特性; 不确定性; 稳定性预测
高速铣削加工是在多齿刀具作用下的非连续切削过程，刀具和工件之间的可再生颤振明显降低切削效率与工件的加工质量，降低刀具、机床的使用寿命，已经成为阻碍该技术发挥其优势的主要瓶颈之一［1 － 2］。因此，研究高速铣削颤振稳定性对切削过程的规划和控制及加工参数的优化有着非常重要的现实意义。
对于给定的刀具－ 工件系统，在假定系统动态参数不改变的条件下，铣削颤振稳定性可以通过稳定性叶瓣图来表征。稳定性叶瓣图直观地给出了稳定切削的极限加工区间，从而可以帮助工艺编制人员通过优选工艺参数来避开不稳定的切削区域; 或通过改变原有的切削参数组合，将切削点从不稳定区域转移到稳定区域，从而避免切削颤振的发生［3 － 4］。目前对高速铣削稳定性的研究多集中于此，但是在建立稳定性模型的时候，现有方法最主要的弊端就是忽略了系统的动态特性，认为诸如固有频率、阻尼比、切削系数等动态参数是在加工过程中恒定不变。在实际的切削过程中，由于高速加工的主轴转速很高，系统动态参数随着加工过程而发生改变，而变化了的动态参数必然会引起稳定性叶瓣图的变化，从而影响到颤振稳定性的预测精度。Dornfeld ［5］和Altintas ［6］的研究表明在高速铣削过程中，动态加工参数不是线性不变的，它们存在非线性特征，这就要求在稳定性建模的时候要考虑到参数的不确定性。高速铣削加工稳定性受铣刀刀尖动态特性和刀具－ 工件切削系数的影响非常明显［7］，机床、主轴和刀夹的动态性能会明显地影响铣刀刀尖的动态特性，尤其是主轴高速旋转引起的惯性力和离心力对刀尖动态特性的影响更为显著［8 － 9］。而工件材料的属性及其材质均匀性对切削系数会产生明显的影响，在刀具几何结构、磨损状况及刀具－ 工件之间摩擦作用的影响下，切削系数在铣削加工过程中也是变化的［10］。为了能够更加精确地预测加工颤振及提高铣削加工的精度和效率，在建立颤振稳定性模型的时候必须要考虑到系统参数不确定性的影响。在考虑加工系统参数变动的、最小边界的情况下，采用棱边定理和排零准则可以方便地预测系统稳定性［11 － 13］。
本研究考虑参数不确定性的影响，针对两自由度高速铣削加工的稳定性预测，应用棱边定理和排零准则，建立了高速铣削稳定性数学模型。并采用数值分析和铣削实验相结合的方式，对建立的高速铣削变参数稳定性模型的正确性进行验证。
1 高速铣削稳定性不确定性建模
1. 1 传统定参数稳定性解析模型
将高速铣削过程简化为正交的两自由度弹性、阻尼系统，其动力学模型如图1所示，其中Φ为铣刀刀齿瞬时转角，v 为进给速度。
铣削系统运动方程可以表述为
式中: Mx、My、Cx、Cy、Kx、Ky分别为X、Y 方向上铣削系统的质量、阻尼和刚度; Fc，x 、Fc，y分别为切削力在X、Y方向上的分量。关于动态切削厚度、切削力的建模已发表在课题组前期的研究论文［14］。基于建立的切削力模型，得到铣刀刀尖的频响函数矩阵［Φ( iω) ］为
式中: Φ
xx( iω) 和Φyy( iω) 分别为X、Y 方向的直接频响函数; Φxy( iω) 、Φyx( iω) 为交叉频响函数。利用切削力系数和结构传递函数，考虑相互垂直的进给方向、法向的自由度，可得主轴转速Ω 为
式中: N 是铣刀齿数; n 是叶瓣数; ΛＲ和ΛI分别为系统特征值的实部和虚部。
对于两维的铣削加工系统，预先给定刀具、工件组合，通过实验获得铣削加工系统动态特性函数，最终可以得到稳定切削时的临界轴向切削深度，同时可以获得对应的主轴转速。目前这个模型是在假定系统动态
参数恒定不变的基础上建立起来的。在实际的铣削过程中，系统参数随加工过程而变化，所以必须要考虑参数不确定性的影响，对该稳定性模型进行改进。
1. 2 考虑参数不确定性的稳定性模型
在建立传统颤振稳定性模型的基础上，针对动态参数变动区间的值、最小值，通过棱边定理和排零准则对建立的传统稳定性模型进行改进，提高铣削颤振稳定性的预测精度。
根据棱边定理，对一个多项式P 进行评价，参数极值的各个组合将形成一个多项式簇; 在给定的频率范围对极值多项式进行评价，就会在复平面形成顶点，也就是多项式的顶点。如果每一对顶点之间的棱边是稳定的，那么这个系统就被认为是稳定的［15 － 16］。对于高速铣削加工来说，铣削稳定性模型的特征方程就是系统多项式，随着动态参数如固有频率、切削系数在、最小边界之间变动时，系统特征方程就可以表示为极值的多项式方程簇。为了精确建模，我们认为固有频率包含X、Y 两个方向的值，切削系数则包含径向和切向的值。
铣削系统多项式P 可以表示为
式中: 振动频率f = jωc的时候是稳定性界限的临界点;ωc是颤振频率; m 是多项式方程的个数。如果仅考虑固有频率和切削系数两个不确定参数的话，那么系统方程的个数最多是4 个( 2ⁿⁿ) 。
接下来，在给定的系统频率范围对每一个特征多项式进行评价，它们在复平面形成的各个顶点之间的连线就形成了棱边，4 条边就可以组成1 个四边形。由此可见，棱边就是模型中系统稳定性的边界。即使各个变化参数的值任意组合，对应在复平面生成的点必将处于边界之内。因此，如果棱边是稳定的，那么对应于变参数之间任意组合的系统，也是稳定的。采用排零准则能够方便地通过几何方法检测棱边的稳定性。依据排零准则，如图2 所示，如果原点在四边形的外面，那么此特征方程是稳定的; 如果原点含在四边形里面，那么系统就是不稳定的。这种方法也可以推广应用到复杂时滞系统的稳定性分析［17］。
采用棱边定理和排零准则，考虑参数不确定性的颤振稳定性建模变成了一个图形问题。基于定参数稳定性模型进行拓展，变参数稳定性模型的算法流程如图3 所示。
从图3 可以看出，稳定性数学模型的输入包括刀尖动态特性、切削系数和刀具的直径等参数，然后在每一个主轴速度点，对应扫描切削深度和颤振频率。当形成棱边后，通过仿真程序的棱边定理算法对已形成
棱边的稳定性进行检查。如果当前采用的参数确定对应的是稳定的加工状态，就继续扫描下一个切削深度值; 如果不是稳定的加工状态，那么对应该点的主轴转速值，当前切削深度就被标记为稳定加工和非稳定加
工的边界。针对所选主轴速度范围，重复上述计算和扫描过程就可以得到整个铣削加工颤振稳定性边界。
我们在研究中考虑切削系数和固有频率2 个动态参数，当设定二者参数值的变化范围后，计算得到的颤振稳定性边界与传统定参数解析法得到的边界是不同的。二者的不同将通过具体的数值分析及其铣削实验
加以对比验证。
2 铣削实验
采用模态分析的方法获得铣刀刀尖的固有频率，选定切削刀具－ 工件组合，通过对实验测得的切削力进行非线性曲线拟合得到刀具－ 工件的切削系数。主轴的动态特性变动范围通过调节其转速来实现，采用不同的铝合金材料进行铣削实验来获得切削系数的变动量。
2. 1 刀尖动态特性
铣刀刀尖的动态特性即铣削加工系统的频响函数是分析颤振稳定性的先决条件，采用模态实验分析的方法进行结构动态测试来获取。模态实验在自建的三轴铣床上进行，其电主轴的转速为100 000 r /min，实验方案如图4 所示。
模态实验铣刀采用直径为4 mm 的硬质合金2 刃平头立铣刀，螺旋角30°，刀柄的刃长为10 mm，加工时刀具悬伸长度为30 mm。由于铣刀几何结构的对称性，刀尖动态特性假定为在X、Y 向是相同的。通过静模态测试获得刀尖的模态参数，但是在高转速的工况下测量刀尖的动态特性在实验上很难实现，由于刀尖的动态特性受主轴转速的影响非常大，我们认定刀尖的动态特性变动量等同于主轴模态参数的变动量，而主轴模态参数的变动量可以方便地通过模态测试获得。
经过测量实验，获得的模态参数及其变动量如表1 所示。很明显，模态3 就是两个方向铣刀刀尖的主模态参数值。
表1 铣刀刀尖固有频率及变动量
2. 2 切削系数
切削系数测量实验在哈斯( Haas Micro) 数控机床上进行。采用声发射传感器( FC1045S) 来监测振动信号，确保在实验过程中没有切削颤振的产生。工件材料分别是铝合金2A11 和2B16，刀具是2 刃硬质合金
平头立铣刀。切削力的测量采用三向力传感器( Kistler9265B) ，利用KD1001A 加速度传感器测量工件和测力仪的加速度信号。在主轴速度为30 000 r /min 的全径向切深铣削直槽的加工条件下，采用不同进给速
度进行加工，并分别测量切削力，然后进行曲线拟合得到切削系数。
式中: Ft、Fr分别是切向力和径向力; h 是切削厚度;Ktc、Krc分别是切向和径向的切削力力系数; Kte、Kre分别是切向和径向的刃口力系数。
通过曲线拟合得到的切削系数的平均值及其变动量如表2 所示。由于刃口力系数的本质是静态的，所以它们对颤振不稳定性不构成影响。
表2 切削力系数均值及变动量
至此，固有频率、切削系数以及它们的不确定性变动范围都已经确定好了，通过建立的参数不确定性模型进行颤振稳定性极限预测，并与实验测得的实际加工结果进行对比分析。
3 结果和讨论
基于刀尖动态特性和切削系数的实验结果，按照图3 所示的分析流程，采用30 000 ～ 80 000 r /min 的主轴转速，仿真程序重复扫描从100 Hz 到3 000 Hz 的频率范围，这个范围包含了刀具和主轴大部分的频率信号。基于声发射传感器在频域获得的数据，对应任意主轴速度、轴向切削深度的组合进行检测，判断是否出现加工颤振。由于采用的声发射传感器具有很高的带宽，很容易检测高频的颤振信号。
采用传统定参数模型预测的稳定性叶瓣图与变参数模型预测结果的对比如图5 所示，加工实验检测到的稳定点和颤振点也绘制在图5 中，并与稳定性加工极限进行对比。
从图5 可以看出，变参数稳定性模型的极限曲线位于传统模型极限曲线的下方，对应传统定参数模型稳定性极限的一些在理论上稳定的点，在实际的测试结果中却是不稳定的。而经过改进的变参数稳定性模型数值分析的结果与实验结果吻合良好，由此也验证了建立的变参数稳定性分析模型的正确性。
实际上，对于传统的颤振稳定性预测模型，随着系统参数值的改变，稳定性叶瓣会相应地移动当前所在的位置; 同时传统的分析模型只针对参数具体的数据点来分析计算，而变参数稳定性模型在计算过程中考虑参数变动范围内的所有情况。也就是说，采用变参数稳定性模型在计算的时候，虽然结果比较保守，但是能够保障不确定性参数所有组合的铣削加工稳定性，从而提高了铣削加工精度。
4 结语
在实际高速铣削过程中，系统不确定性参数会影响加工的颤振稳定性。传统的颤振稳定性模型假定系统动态参数值在加工过程中固定不变，并不能准确地对颤振进行预测。对传统稳定性模型进行拓展，考虑参数不确定性的变参数模型在分析过程中考虑了动态参数变化的整个区间，能够精确地对铣削加工稳定性进行预测。在实际运用中棱边定理和排零准则能够考虑的变参数并不仅仅是固有频率和切削系数，它对任意个数变化参数都可以考虑，区别在于实际加工的需求以及计算的复杂程度。
通过模态测试得到系统固有频率，通过切削力系数辨识实验得到切削系数，对给定加工系统，采用传统定参数模型和新型变参数模型分别进行了数值分析，并通过具体铣削加工实验进行对比分析，验证了考虑参数不确定性稳定性模型的有效性。
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作者: 曹自洋，男，1979 年生，博士，副教授，主要研究方向是微细制造、精密加工，已发表论文30余篇。
